Генерал-лейтенант Климент Бояджиев е роден в Охрид през 1861 г. Там завършва гимназията и след това постъпва във Военното училище в София. Военната му служба започва през юли 1881 г., а през август 1883 г. е произведен в чин подпоручик и зачислен в 4-та Самоковска пехотна дружина, по-късно става командир на рота в 1-ви Софийски пехотен полк. През Сръбско-българската война Бояджиев е в щаба на Западния корпус. След войната е ротен командир в 1-ви и 2-ри пехотен полк. През март 1886 г. вече е поручик, а през януари 1888 г. – капитан.
През 1893 г. Климент Бояджиев завършва Генерал-щабната академия в Торино, Италия, а от 1 януари 1894 г. е повишен в чин майор. Служи като старши адютант в щаба на 5-а и 3-та дивизия, дружинен командир в 24-ти пехотен полк, началник на щаба на 4-та Преславска пехотна дивизия – 1899 г., командир на рота в 8-и пехотен полк – 1890 г., началник на щаба на 6-а Бдинска пехотна дивизия и 2-ра инспекционна област, командир на 8-и Приморски пехотен полк – 1900 г., и на 2/4 бригада.
На 1 януари 1903 г. е повишен в чин полковник. От 1910 г. е генерал-майор и началник на 4-та Преславска пехотна дивизия. През Балканската война 1912–1913 г. се сражава с дивизията си в Тракийския военен театър при Гечкенли, Бунархисар и Люлебургаз. След приключване на Чаталджанската операция е назначен за началник на авангардните дивизии на обединените 1-ва и 3-та армия.
По време на Междусъюзническата война 1913 г. командва маневрената група в състава на 5-а армия, която атакува сръбските части при Побит камък. След войната в периода 1913–1914 г. е воeнен министър, а след това през 1915 г. е началник на щаба на армията.
По време на мобилизацията за участието на България в Първата световна война е назначен за командващ на Първа българска армия, с която воюва в Сърбия и Македония.
През септември 1916 г. се уволнява от армията. Генерал-лейтенант Климент Бояджиев е кавалер на два ордена „За храброст“, един орден „Св. Александър“, народен орден „За военна заслуга“ и орден „За заслуга“ на военна лента.
Климент Бояджиев е автор на първата релефна карта на България през 1900 г.